用中值定理求根

翻看了以前写的使用Newton-Raphson Method求一个数的开方，想到其实也可以用中值定理来实现。

中值定理：f(x)是一个连续性的函数，在[u,v]区间内，当c的值位于f(u)和f(v)之间时，至少存在一个点，满足f(x) = c 当f(u)和f(v)一正一负时，那么在[u,v]之间至少有一个根的存在，这个定理本来就是拿来证明根的存在的，但是其实也可以用来求解根。

把[u,v]的区间不断地缩小，就可以不断地逼近根的值，这不是人干的，但是适合计算机干，理论上，进行无穷次之后，便是根的准确值。当然不可能写个死循环，给定一个精度，当求解的根与实际值相差在精度范围内便退出循环，返回结果。

随手写了一段，可以拿来求根，就可以设计函数来求解无理数的有理数近似值，可以求解函数值等于某一值的x值，可以求解两个函数的交点等等。

bisect <- function(f, u, v, eps){     
    if ( f(u) * f(v) > 0)         
         stop (" error, select another value for u or v...")
     if ( f(u) < 0) {
         u1 <- u
         v1 <- v
     } else {
         u1 <- v
         v1 <- u
     }
     cnt <- 1
     step <- log2(abs(u1-v1)/eps)
     while ( cnt < step ){
         m <- (u1+v1)/2
         if ( f(m) == 0)
              break
         if ( f(m) < 0 ) {
             u1 <- m
         } else {
             v1 <- m
         }
         cnt <- cnt + 1
     }     return (m)
 }

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